Многочлены Эрмита

---

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,}$

---