Тождество параллелограмма

---

В нормированном пространстве (V, ${\displaystyle \|\cdot \|}$), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle }$, порождающее эту норму, то есть такое что ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ всех векторов ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle V}$. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану^[2][3]. Это можно сделать следующем способом:

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом ${\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$, будет удовлетворять этому тождеству.

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

---