Поток Риччи

---

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

где ${\displaystyle g_{t}}$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ${\displaystyle t}$), и ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t}}$ — её тензор Риччи.

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ можно подобрать репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$, в котором ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ диагонализуется в базисе ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$, ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$, ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}}$, скажем,

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях^[1], опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.^[2]

---