Тензор Риччи

---

Тензор Риччи, названный в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства (см. геометрический смысл тензора Риччи). Обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ или ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$.

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — n-мерное риманово многообразие, а ${\displaystyle T_{p}M}$ — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары ${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$ касательных векторов в точке p, тензор Риччи ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )}$, по определению, отображает ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ в след линейного автоморфизма ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$, заданного тензором кривизны Римана R:

где ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}$ — след тензора Римана в координатном представлении.

---