Тензор кривизны

---

Риманов тензор кривизны (иногда называемый тензором кривизны Римана — Кристоффеля) представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.

Тензор кривизны ${\displaystyle R(u,\;v)}$ определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы ${\displaystyle u,\;v}$.

Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивиты, или в общем случае аффинную связность ${\displaystyle \nabla }$ (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:

где ${\displaystyle [u,\;v]}$ — скобка Ли.

Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ и ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$, и поэтому коммутируют (${\displaystyle [u,\;v]=0}$), формула принимает упрощённый вид:

В системе координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ компоненты тензора кривизны определяются так:

---