Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.
В размерностях 3 и выше кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется как тензор.
Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами. Наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивиты (или ковариантное дифференцирование) и скобку Ли по следующей формуле:
Тензор кривизны представляет собой линейное преобразование касательного пространства к многообразию в выбранной точке.
Если и , то есть они являются координатными векторами, то , и поэтому формула упрощается:
Линейное преобразование также называют преобразованием кривизны.