Кручение связности

---

Кру́чение аффи́нной свя́зности — одна из геометрических характеристик связностей в дифференциальной геометрии. В отличие от понятия кривизны, имеющего смысл для связности в произвольном векторном расслоении или даже связности Эресманна^[en] в локально тривиальном расслоении, кручение может быть определено лишь для связностей в касательном расслоении (или, чуть более общо, в расслоениях, снабжённых отображением в касательное — скажем, контактном подрасслоении).

Если ${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (TX\otimes TX)\to \Gamma (TX)}$ — связность в касательном расслоении, её тензор кручения определяется как ${\displaystyle \mathrm {Tors} ^{\nabla }(u,v)=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u-[u,v]}$.

Непосредственным вычислением проверяется, что данный оператор линеен относительно умножения на функции, и, следовательно, действительно определяет тензор вида ${\displaystyle \Lambda ^{2}TX\to TX}$. Иными словами, паре касательных векторов в данной точке кручение кососимметическим образом сопоставляет касательный вектор.

Пусть X есть трёхмерное евклидово пространство, в котором задана некая система координат. Она определяет плоскую связность без кручения: в каждой точке мы можем указать единичный касательный вектор, направленный вдоль оси ${\displaystyle Ox}$ (соотв. ${\displaystyle Oy}$, ${\displaystyle Oz}$), и эти векторные поля коммутируют (то есть задают систему координат).

---