Параллельное перенесение

---

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения ${\displaystyle \eta :E\to B}$, определяемый некоторой заданной связностью на ${\displaystyle E}$. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств ${\displaystyle T_{\gamma (0)}(M)}$ и ${\displaystyle T_{\gamma (1)}(M)}$, определяемый вдоль кривой ${\displaystyle \gamma \in M}$ некоторой заданной на ${\displaystyle M}$ аффинной связностью.

Пусть на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ задана аффинная связность. Говорят, что вектор ${\displaystyle X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)}$ получен параллельным перенесением из вектора ${\displaystyle X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)}$ вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$, если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле ${\displaystyle X}$ со следующими свойствами:

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора ${\displaystyle X}$, в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле ${\displaystyle X}$ было определено в целой окрестности пути ${\displaystyle \gamma (t)}$, достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

---