Преобразование Лапласа

---

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию ${\displaystyle \ F(s)}$ комплексного переменного (изображение) с функцией ${\displaystyle \ f(x)}$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной ${\displaystyle \ f(t)}$ называется функция ${\displaystyle \ F(s)}$ комплексной переменной ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$^[1], такая что:

Функцию ${\displaystyle f(t)}$ называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию ${\displaystyle F(s)}$ называют изображением функции ${\displaystyle f(t)}$.

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: ${\displaystyle f(t)\risingdotseq F(s)}$ и ${\displaystyle F(s)\fallingdotseq f(t)}$, причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного ${\displaystyle F(s)\ }$ называется функция ${\displaystyle f(t)\ }$ вещественной переменной, такая что:

---