Преобразование Радона

---

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года^[1].

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть ${\displaystyle f(x,y)}$ функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции ${\displaystyle f(x,y)}$ называется функция

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору ${\displaystyle {\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ и проходящей на расстоянии ${\displaystyle s}$ (измеренного вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {n}}}$, с соответствующим знаком) от начала координат.

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции ${\displaystyle f(x,y)}$

---