Преобразование Фурье

---

Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f}$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Общая формула всех вариантов определения преобразования Фурье с параметрами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выглядит как

При выборе ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle b=2\pi }$ или ${\displaystyle b=-2\pi }$ формулы становятся особенно просты, в них исчезают нормировочные множители и формулы различаются только знаком степени, вследствие чего большинство нижеприведённых формул упрощается на постоянные константы.

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

---