Проблема Варинга

---

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого ${\displaystyle n>1}$ существует такое число ${\displaystyle k=k(n)}$, что всякое натуральное число ${\displaystyle N}$ может быть представлено в виде:

с целыми неотрицательными ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}}$.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом^[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня^[2].

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено ${\displaystyle k=4}$ для проблемы в случае ${\displaystyle n=2}$.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом^[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

---