Производная Фреше

---

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Пусть ${\displaystyle F\colon X\rightarrow Y}$ — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства ${\displaystyle X}$ в вещественное банахово пространство ${\displaystyle Y}$.

Производной Фреше оператора ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x\in X}$ называется ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A\colon X\rightarrow Y}$, такой, что для любого ${\displaystyle h\in X}$ выполняется следующее равенство:

${\displaystyle F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),}$

причем для остаточного члена ${\displaystyle r_{0}(x,\;h)}$ верно соотношение:

${\displaystyle {\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \|h\|_{X}\rightarrow 0.}$

---