Равенство классов P и NP
Вопрос о равенстве классов сложности P и NP (в русскоязычных источниках также известный как проблема перебора[1][2]) — это одна из центральных открытых проблем теории алгоритмов, сформулированная в начале 1970-х годов и до сих пор не имеющая доказательного ответа. Если будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что существует теоретическая возможность решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.
Отношения между классами P и NP рассматриваются в разделе теории алгоритмов, который называется теорией вычислительной сложности. Она изучает ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи).
Проблема равенства классов P и NP является одной из семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя назначил премию в миллион долларов США.
Нестрого говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти (также за полиномиальное время и используя полиномиальную память)? Другими словами, действительно ли проверить решение задачи столь же ресурсозатратно, как и отыскать решение?[3]
Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, …} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ — да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 и если уже известен список слагаемых, то это легко проверяется несколькими последовательными сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). Следует ли отсюда, что так же легко определить сам этот список? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Обычно считается, что подобрать числа сложнее. Но сопоставление теоретической сложности (количественной оценки объективно необходимых ресурсов) не доказано.
Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: . Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, то есть, существует ли задача, лежащая в NP, но не лежащая в P. Если такой задачи не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду в скорости вычислений. Сейчас самые сложные задачи из класса NP (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что считается неприемлемым с практической точки зрения.
