Равенство смешанных производных

---

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция ${\displaystyle f}$ многих переменных:

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов ${\displaystyle x_{i}}$, считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение ${\displaystyle \phi }$ в общем случае зависит от тех же переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}}$, что и оригинальная функция ${\displaystyle f}$:

Если функция ${\displaystyle \phi }$ окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу ${\displaystyle x_{j}}$:

---