Размерность Минковского

---

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

где ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ — минимальное число множеств диаметра ${\displaystyle \varepsilon }$, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра ${\displaystyle 1/n}$, нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра ${\displaystyle 2/n}$. Поэтому для отрезка имеем ${\displaystyle \rho (n)\approx 2\rho (n/2)}$. То есть, при увеличении ${\displaystyle n}$ в два раза ${\displaystyle \rho (n)}$ увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ — линейная функция.

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет ${\displaystyle 4^{n}}$ равных отрезков, длиной ${\displaystyle 3^{-n}}$. Возьмём за ε отрезок длиной ${\displaystyle 3^{-n}}$, тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится ${\displaystyle 4^{n}}$ отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→${\displaystyle \infty }$. Получим

---