Родился в городе Салоники, в то время входившем в состав Османской империи. В 1932 году окончил естественно-математический факультет Белградского университета по специальности «физическая химия». Из-за конфликта с одним профессором после окончания университета не смог остаться преподавать на кафедре физической химии, однако смог, поскольку окончил университет с отличием, устроиться ассистентом на кафедру физики на медицинском факультете, где преподавал в этой должности на протяжении двух лет и работал под началом профессора Драголюба Йовановича.
С 1934 по 1939 год работал с И.Жолио-Кюри по её же предложению в Институте радия, Париж, которое охотно принял, так как чувствовал, что не мог приобрести в Белграде научные знания по многим областям. Первоначально получил стипендию на работу во Франции только на период шести месяцев, однако в итоге проработал в этой стране пять лет. В этот период времени, особенно в 1938—1939 годах, он проводил серьёзные исследования в области ядерной физики.
В 1939 году, когда началась Вторая мировая война, Савич как иностранец был выслан из Франции, хотя был готов вступить добровольцем во французскую армию. Он вернулся в Белград, где поступил на работу на медицинском факультете Белградского университета, став профессором физической химии на фармацевтическом отделении факультета; в том же 1939 году вступил в Коммунистическую партию Югославии.
С 1941 по 1944 год вместе с женой Бранкой Савич и сестрой Слободанкой принимал участие в Народно-освободительной войне против нацистских захватчиков, участвовал в партизанском движении: стал руководителем службы шифрования Верховного штаба НОАЮ, в 1943 году стал помощником председателя Антифашистского вече народного освобождения Югославии.
В 1945—1946 годах работал в Институте физических проблем АН СССР; с 1945 (фактически с 1947) по 1966 год был профессором Белградского университета, с 1947 по 1966 год — директором Физико-химического института при этом университете; был также профессором естественно-математического факультета.
В 1947 году основал Институт по изучению материи (с 1953 года носивший название Института ядерных исследований им. Б. Кидрича) в Винче, который возглавил после основания и которым руководил до 1960 года.