Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя

---

Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG, аксиоматика Гёделя — Бернайса) в метаматематике — одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предложения, сформулированные на языке теории ZFC, доказуемы в ZFC тогда и только тогда, когда они доказуемы в NBG.

Теория NBG дополнительно включает понятие собственного класса — объекта, имеющего элементы, но который сам не может быть элементом каких-либо объектов. NBG включает только такие определения понятий, которые не ссылаются на определяемое понятие; значения связанных переменных в формулах могут быть только множествами. Исключение этого принципа (отсутствие ссылок на определяемое понятие внутри определений) превращает систему NBG в систему Морза — Келли^[en] (MK). NBG в отличие от ZFC и MK может быть конечно аксиоматизирована (конечным числом аксиом).

Принципиальным в NBG является различие между собственными классами и множествами. Пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle s}$ — объекты. Тогда простое высказывание ${\displaystyle a\in s}$ определено, если ${\displaystyle a}$ — множество, а ${\displaystyle s}$ — класс; иначе говоря, ${\displaystyle a\in s}$ определено, если ${\displaystyle a}$ не является собственным классом. Классы могут быть очень большими, в NBG есть даже класс всех множеств, всеобщий класс, называемый ${\displaystyle V}$. Однако, в NBG невозможно существование класса всех классов (так как собственный класс не может быть элементом класса) или множество всех множеств (его существование противоречит системе аксиом).

---