Совершенное число

---

Соверше́нное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей 1 + 2 + 3. Это понятие было введено пифагорейцами в VI веке до н. э.; согласно их нумерологической мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа^[1].

Если суммировать все делители числа (то есть добавить само число) ${\displaystyle \sigma (N)-N=N}$ или ${\displaystyle \sigma (N)=2N,}$ получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число ${\displaystyle \ 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ является совершенным, если число ${\displaystyle \ 2^{p}-1}$ является простым (т. н. простые числа Мерсенна)^[2]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7), они приведены в Арифметике Никомаха Геразского.

Пятое, шестое и седьмое совершенные числа обнаружил в XIII веке арабский математик Исмаил ибн Фаллус^[англ.], однако в Европе эти числа оставались неизвестны ещё несколько сотен лет.

---