Сопряжённые функторы
Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году[1]. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.
Функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым.
Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий, многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о сопряжённых функторах, таких как эквивалентность различных определений, и из того факта, что правые сопряжённые функторы коммутируют с пределами (а левые — с копределами), могут немедленно следовать доказательства многих интересных результатов.
Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить псевдокольцо (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо. Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа r+1, где r — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.
Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как эти понятия двойственны, достаточно рассмотреть одно из них.