Функтор (математика)

---

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов^[англ.].

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа^[1], при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию^[2].

(Ковариантный) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — это отображение, которое:

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму ${\displaystyle f:X\to Y}$ морфизм ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)}$), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

---