Алгебраическая топология

---

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что общеалгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Важным инструментом алгебраической топологии являются так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству ${\displaystyle X}$ соответствует в каждой размерности ${\displaystyle n}$ своя абелева группа гомологий ${\displaystyle H_{n}(X)}$, а каждому непрерывному отображению ${\displaystyle f:X\to Y}$ соответствует гомоморфизм групп ${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\to H_{n}(Y)}$, причём композиции отображений ${\displaystyle fg}$ соответствует композиция гомоморфизмов ${\displaystyle f_{*}g_{*}}$, а тождественному отображению ${\displaystyle \mathrm {id} }$ соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{*}}$. На языке теории категорий это означает, что ${\displaystyle n}$-ая группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.

---