Среднее Колмогорова

---

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — это величина вида

где ${\displaystyle \varphi }$ — непрерывная строго монотонная функция, а ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ — функция, обратная к ${\displaystyle \varphi }$, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

При выборе определённых функций ${\displaystyle \varphi }$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,^[1] что любая средняя величина ${\displaystyle M(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет вид ${\displaystyle (*)}$, если она обладает свойствами:

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.^[2][3]

Для непрерывно распределённой величины ${\displaystyle f(x)}$ среднее Колмогорова на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$:

---