Стереотипное пространство

---

В функциональном анализе и связанных областях математики стереотипные пространства представляют собой класс топологических векторных пространств, выделяемый неким специальным условием рефлексивности. Этот класс обладает серией замечательных свойств, в частности, он весьма широк (например, содержит все пространства Фреше, и поэтому все банаховы пространства), он состоит из пространств, подчиненных определенному условию полноты, и образует замкнутую моноидальную категорию со стандартными аналитическими средствами построения новых пространств, такими как переход к замкнутому подпространству, факторпространству, проективному и инъективному пределам, пространству операторов, тензорным произведениям, и т. д.

Стереотипным пространством^[1] называется топологическое векторное пространство ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел^[2] такое, что естественное отображение во второе сопряженное пространство

является изоморфизмом топологических векторных пространств (то есть линейным и гомеоморфным отображением). Здесь сопряженное пространство ${\displaystyle X^{\star }}$ определяется как пространство всех линейных непрерывных функционалов ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в ${\displaystyle X}$, а второе сопряженное пространство ${\displaystyle X^{\star \star }}$ представляет собой пространство, сопряженное к ${\displaystyle X^{\star }}$ в этом же смысле.

Справедлив следующий критерий:^[1] топологическое векторное пространство ${\displaystyle X}$ стереотипно тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и удовлетворяет следующим двум условиям:

Псевдополнота представляет собой ослабление обычного свойства полноты, а псевдонасыщенность — ослабление свойства бочечности топологического векторного пространства.

---