Представитель купеческого рода Строгановых. Сын Аникея Фёдоровича Строганова (1488—1570) и Софии Андреевны Бакулевой (1509—1567). Братья — Яков и Семён Аникеевичи Строгановы.
В апреле 1558 года купец Григорий Аникеевич Строганов получил жалованную грамоту от царя Ивана Грозного на «пустые» земли Перми Великой за 88 верст по реке Кама от устья реки Лысьвы и Пызненского Курья до устья реки Чусовая, по обе стороны р. Камы (3 415 840 десятин).
В 1564 году, получив разрешения от царского правительства, Г. А. Строганов построил городок на Орловском волоке под именем Кергедан (Орёл-городок).
В августе 1572 года в ответ на убийство восставшими черемисами и башкирами 87 русских «торговых людей» в окрестностях городков Канкара и Кергедана царь Иван Грозный приказал братьям Якову и Григорию Строгановым собрать свои военные силы и предпринять карательный поход на мятежников, «выбрав охочих людей, ходить на них войною и приводить под высокую руку Царскую».
Вскоре после смерти отца между Григорием и Яковом Аникеевичами, с одной стороны, и младшим их братом Семеном, жившим в Сольвычегодске, с другой, возникла вражда, причины которой остаются неизвестными. Дело дошло до царского суда, которым Семен Строганов в 1573 году был признан виновным и старшим братьям «выдан головой».
В 1573 году сибирский хан Кучум, опасавшийся усиления братьев Строгановых, организовал поход на их владения. Большой отряд из сибирских татар, остяков и вогуличей под предводительством царевича Маметкула 2 июня напал на чусовский городок Кангор, но не смог им овладеть. Однако противник умертвил многих из покорившихся русским туземцев в окрестностях. Яков и Григорий Строгановы отправили из Чусовского городка большой отряд против Маметкула, который отступил за Урал. Строгановы стали преследовать татар, по дороге они напали на поселения тех остяков и вогуличей, которые или присоединились к отряду Маметкула, или так или иначе помогали последнему. Многие жители были убиты, «жен и детей в полон побрали, жилища в пепл обратили».