Представитель купеческого рода Строгановых. Второй сын и наследник Андрея Семёновича Строганова (1581—1649) и Татьяны Дмитриевны Жедринской (1584—1639). Его братья, Андрей и Василий умерли в детстве.
При жизни своего отца Андрея Семёновича, Дмитрий участвовал в управлении отцовскими вотчинами. В декабре 1639 года Дмитрий Андреевич заключил соглашение со своим родственником Фёдором Петровичем Строгановым о том, чтобы не переманивать друг от друга «рукодельных людей» (то есть рабочих), крестьян и дворовых людей.
В январе 1641 года царь Михаил Фёдорович в своей грамоте подтвердил за Дмитрием Андреевичем Строгановым прежние грамоты и права на имения, доставшиеся ему от отца. Одновременно по просьбе его отца Андрея Семёновича Строганова царь дал вторую грамоту Дмитрию, в которой подтверждал различные преимущества, дарованные роду Строгановых по прежним царским грамотам.
В мае 1641 года была издана царская грамота «именитому человеку» Дмитрию Андреевичу Строганову, в которой были подтверждены его права на половину вотчины Никиты Григорьевича Строганова, Орёл-городок, Новое Усолье и Очерский острожек.
В 1642 году по переписи Ф. Чемезова Андрей Семёнович Строганов и его сын Дмитрий владели на реках Чусовой, Сылве, Очере и Мулянке 2 городками, 1 селом, 49 деревнями, 10 починками, 371 двором, а также 1183 крепостными мужского пола.
В 1647 году по переписи П. К. Елизарова отец и сын Строгановы владели 1 городком, 2 острожками, 11 слободами, 44 деревнями, 22 починками, 456 дворами, 1448 крепостными крестьянами и 31 бобылем, 10 варницами на р. Чусовой и в Новом Усолье.