Субдифференциал

---

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Субдифференциалом ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ выпуклой функции ${\displaystyle f\colon E\rightarrow \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов ${\displaystyle p\in E^{*}}$, удовлетворяющих для всех ${\displaystyle x\in E}$ неравенству

Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется субдифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если множество ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ непусто.

Вектор ${\displaystyle p\in E^{*}}$, принадлежащий субдифференциалу ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$, называется субградиентом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

---