Формулы Виета

---

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.^{[1]:138—139}

Если ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ — корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней^[2], а именно:

Иначе говоря, ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}$ равно сумме всех возможных произведений из ${\displaystyle k}$ корней.

Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.

---