Теорема Грина — Тао

---

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются^[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках ${\displaystyle \mathbb {P} }$ означает множество простых чисел. Запись ${\displaystyle \log _{[k]}x}$ означает ${\displaystyle \log \log \dots \log x}$, где логарифм берётся ${\displaystyle k}$ раз.

Пусть ${\displaystyle A}$ — множество простых чисел, и его плотность относительно простых ${\displaystyle \delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}}$ строго положительна. Тогда для любого ${\displaystyle k\geqslant 2}$ множество ${\displaystyle A}$ содержит арифметическую прогрессию длины ${\displaystyle k}$.

---