Теорема Коши — Ковалевской

---

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Рассмотрим пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ будем обозначать через ${\displaystyle (x,t)=(x_{1},...,x_{n},t)}$, а точку, принадлежащую ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, через ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$. Обозначим оператор частного дифференцирования

Предположим, что коэффициенты оператора ${\displaystyle L}$ определены в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат в пространстве переменных ${\displaystyle (x,t)}$ и являются аналитическими функциями. Пусть функция ${\displaystyle f}$ также аналитична в ${\displaystyle U}$. Пусть вектор ${\displaystyle \Psi }$ начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат ${\displaystyle x}$ — пространства. Тогда существуют окрестность ${\displaystyle W}$ начала координат и единственная аналитическая функция ${\displaystyle u(x,t)}$, определённая в ${\displaystyle W}$, для которой

---