Знакочередующийся ряд

---

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$ — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}}$ сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов^[1]:

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}}$ и ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}}$.

---