Гармонический ряд

---

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: ${\displaystyle k}$-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ от длины исходной струны^[1]. Кроме того, каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее гармоническое двух соседних членов.

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма бесконечна (ряд расходится).Частичная сумма n первых членов гармонического ряда называется n-м гармоническим числом:

Разница между ${\displaystyle n}$-м гармоническим числом и натуральным логарифмом ${\displaystyle n}$ сходится к постоянной Эйлера — Маскерони ${\displaystyle \gamma =0{,}5772...}$.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме ${\displaystyle H_{1}=1}$, не является целым: ${\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N} }$^[2].

---