Гармоническое число

---

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}}$

где ${\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}$, ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений^{[каких?]}, а ${\displaystyle B_{k}}$ — числа Бернулли.

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

---