Несократимая дробь

---

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$, которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты^[1], то есть не имеют общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1}$. Например, дробь ${\displaystyle {\frac {121}{90}}}$ несократима, а ${\displaystyle {\frac {120}{90}}}$ можно сократить: ${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.}$

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}},}$ где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю ${\displaystyle n}$ быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

Для приведения обыкновенной дроби ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель^[2] НОД${\displaystyle (m,n).}$ Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

---