Факториальное кольцо

---

Факториа́льное кольцо́ — нётерова область целостности, в которой всякий неприводимый элемент является простым. Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Менее формально, факториальное кольцо определяется как область целостности ${\displaystyle R}$, в которой каждый ненулевой элемент ${\displaystyle x}$ можно записать в виде произведения неприводимых элементов ${\displaystyle p_{i}}$ и обратимого элемента ${\displaystyle u}$:

при этом в случае, если ${\displaystyle x}$ обратим, то ${\displaystyle n=0}$, то есть произведение вырождается до одного множителя. И это разложение единственно в следующем смысле: если ${\displaystyle q_{1},...,q_{m}}$ — неприводимые элементы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle w}$ — обратимый элемент, такие что

то ${\displaystyle m=n}$ и существует биективное отображение ${\displaystyle \varphi :\{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,m\}}$ такое что ${\displaystyle p_{i}}$ — элемент, ассоциированный с ${\displaystyle q_{\varphi (i)}}$ для ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$.

Пусть ${\displaystyle R}$ — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

---