Теорема Пойнтинга

---

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

где ${\displaystyle u}$ — плотность энергии: ${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right)}$;

где ${\displaystyle \partial V}$ — поверхность, ограничивающая объём ${\displaystyle V}$ .

В технической литературе теорема обычно записывается так (${\displaystyle u}$ — плотности энергии):

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ — плотность энергии электрического поля, ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ — плотность энергии магнитного поля и ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

---