Теорема Фробениуса

---

Теоре́ма Фробе́ниуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность, см. ниже) всякое тело (в частности, поле), расширяющее поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

Иными словами, невозможно задать 4 арифметических действия над столбцами (любой высоты, большей 1) из вещественных чисел так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям ассоциативности, коммутативности, обратимости и билинейности, то есть аксиомам поля, и единственным исключением из этого запрета являются комплексные числа — столбцы из двух вещественных чисел.

В случае же ослабления требований путём отказа от коммутативности умножения мы получаем ещё одно исключение, которым являются кватернионы (столбцы из четырёх вещественных чисел).

Поскольку словом «число» обычно называют элемент поля (или хотя бы тела), частным случаем теоремы является тот факт, что трехмерных чисел не бывает, как не бывает и пяти- или же более -мерных.

8-мерные октонионы Кэли исключением из теоремы не являются, поскольку умножение для них не ассоциативно.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {L} }$ — тело, содержащее в качестве подтела тело ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел, причём выполняются два условия:

---