Теорема вращения Эйлера

---

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла ${\displaystyle \varphi }$ и единичного вектора ${\displaystyle n}$ обозначим ${\displaystyle R(\varphi ,n)}$ вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол ${\displaystyle \varphi }$. Тогда:

Для любого вращения существует единственный угол ${\displaystyle \varphi }$, для которого ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$, при этом:

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

---