Триангуляция Делоне

---

Триангуля́ция Делоне́ — триангуляция для заданного множества точек S на плоскости, при которой для любого треугольника все точки из S за исключением точек, являющихся его вершинами, лежат вне окружности, описанной вокруг треугольника. Обозначается DT(S). Впервые описана в 1934 году советским математиком Борисом Делоне.

Данный алгоритм основан на стандартной для многих алгоритмов методике сведения сложной задачи к более простым, в которых решение очевидно. Сам алгоритм для ${\displaystyle N>1}$ состоит из 2 шагов:

Сложность разбиения множества ${\displaystyle O(\log N)}$, объединения — ${\displaystyle O(N)}$ для каждого объединения, итоговая сложность алгоритма — ${\displaystyle O(N\log N)}$^[2].

Минимальное евклидово остовное дерево гарантированно располагается на триангуляции Делоне, поэтому некоторые алгоритмы пользуются триангуляцией. Также через триангуляцию Делоне приближённо решается евклидова задача о коммивояжёре.

В двумерной интерполяции триангуляция Делоне разбивает плоскость на самые «толстые» треугольники, насколько это возможно, избегая слишком острых и слишком тупых углов. По этим треугольникам можно строить, например, билинейную интерполяцию.

Метод конечных элементов — метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных — предельно универсален, и с ростом мощи компьютеров и с отработкой стандартных библиотек становится всё более популярным. Однако построение конечноэлементной сетки до последнего времени оставалось ручной работой. В большинстве вариантов метода конечных элементов погрешность обратно пропорциональна синусу минимального или максимального угла сетки, поэтому многие из алгоритмов автоматического построения сетки используют триангуляцию Делоне.

---