Трисекция угла

---

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе^[1][2][3][4] и даже в некоторых научных журналах^[5] время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла ${\displaystyle \alpha }$ разрешима только тогда, когда уравнение

Предположим, что имеется угол ${\displaystyle \alpha =POM}$ (рис. 1). Необходимо построить угол ${\displaystyle \beta }$, величина которого втрое меньше данного: ${\displaystyle \alpha =3\beta }$.

Построим окружность произвольного радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$. Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M}$. Продолжим сторону ${\displaystyle OM}$ исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему ${\displaystyle a}$, и используя прямую ${\displaystyle OM}$ в качестве направляющей, точку ${\displaystyle P}$ в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок ${\displaystyle AB}$. Получим угол ${\displaystyle PAM}$, равный одной трети исходного угла ${\displaystyle \alpha }$.

---