Квадратура круга

---

Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить ${\displaystyle R}$ радиус заданного круга, ${\displaystyle x}$ — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: ${\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},}$ откуда получаем: ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.}$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга. В древнем Египте уже знали, что эта площадь ${\displaystyle S}$ пропорциональна квадрату диаметра круга ${\displaystyle d.}$ В папирусе Ринда для вычислений используется формула^[1]

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра ${\displaystyle d}$ считалась равной площади квадрата со стороной ${\displaystyle {\frac {8}{9}}d.}$ В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение ${\displaystyle \pi }$ равным ${\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.}$

Древнегреческие математики своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («квадратуру»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью циркуля и линейки. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед, Спор и другие.

---