Унимодулярная матрица

---

Унимодуля́рная ма́трица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен ${\displaystyle +1}$ или ${\displaystyle -1}$. Это в точности те невырожденные матрицы ${\displaystyle A}$, для которых уравнение ${\displaystyle Ax=b}$ имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора ${\displaystyle b}$.

Прямоугольная матрица называется вполне унимодулярной (или абсолютно, или тотально унимодулярной), если все её миноры принимают значения из множества ${\displaystyle \{-1,0,+1\}}$. Иными словами, любая её невырожденная квадратная подматрица унимодулярна.

Вполне унимодулярные матрицы играют важную роль в теории целочисленного линейного программирования: задачи линейного программирования с системой ограничений вида ${\displaystyle Ax=b}$, где ${\displaystyle A}$ вполне унимодулярна, а ${\displaystyle b}$ — целочисленный вектор, имеют целочисленные базисные допустимые решения, а значит, в частности, могут быть решены стандартным средством линейного программирования — симплекс-методом.

Теорема1: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда все её инвариантные множители равны единице, т.е. когда она эквивалентна единичной матрице.

Теорема 2: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она есть произведение матричных элементов.

---