Условия Коши — Римана

---

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную ${\displaystyle u=u(x,y)}$ и мнимую ${\displaystyle v=v(x,y)}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного ${\displaystyle w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy}$.

Для того чтобы функция ${\displaystyle w=f(z)}$, определённая в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ как функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ были дифференцируемы в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ как функции вещественных переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная ${\displaystyle f'(z)}$ представима в любой из следующих форм:

не зависящий от способа стремления ${\displaystyle \Delta z}$ к нулю.

Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.

Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.

---