Условное математическое ожидание

---

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия (реализации каких-то событий). Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной (если эти случайные величины независимы, то условное математическое ожидание совпадает с (безусловным) математическим ожиданием). В этом случае условное математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle Y}$ при условии, что случайная величина ${\displaystyle X}$ приняла значение ${\displaystyle x}$ обозначается как ${\displaystyle E(Y|X=x)}$, соответственно, ее можно рассматривать как функцию от ${\displaystyle x}$. Эта функция называется функцией регрессии случайной величины ${\displaystyle Y}$ на случайную величину ${\displaystyle X}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как ${\displaystyle E(Y|X)}$, то есть без указания фиксированного значения ${\displaystyle x}$.

Будем считать, что дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ — интегрируемая случайная величина, то есть ${\displaystyle \mathbb {E} \vert X\vert <\infty }$. Пусть также ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — σ-подалгебра σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Случайная величина ${\displaystyle {\hat {X}}}$ называется условным математическим ожиданием ${\displaystyle X}$ относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, если

---