Формальное дифференцирование

---

Формальное дифференцирование — операция над элементами кольца многочленов или кольца формальных степенных рядов, повторяющая взятие производной из математического анализа, но не опирающееся на понятие предела, которое невозможно определить для произвольного кольца. Многие свойства производной верны и для формального дифференцирования, но некоторые, особенно касающиеся утверждений, содержащих числа, не верны. Одно из важных применений формального дифференцирование в алгебре — проверка кратности корней полиномов.

Определение формального дифференцирования таково: зафиксируем кольцо ${\displaystyle R}$ (не обязательно коммутативное), пусть ${\displaystyle A=R[x]}$ является кольцом многочленов над ${\displaystyle R}$. Тогда формальное дифференцирование представляет собой действие над элементами ${\displaystyle A}$, при котором если

При этом выражение ${\displaystyle na_{n}}$ означает не умножение в кольце, но ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{n},}$ где ${\displaystyle k}$ не используется под знаком суммы. Если такая сумма равна нулевому элементу по крайней мере для первого слагаемого в этой записи формальной производной, то степень многочлена ${\displaystyle f'}$ в действительности ниже, чем ${\displaystyle n-1}$, поскольку соответствующее количество первых слагаемых исчезают из формальной записи (вплоть до полного исчезновения в наиболее вырожденном случае, приводящем к нуль-многочлену).

Для некоммутативных колец данное определение встречается со следующим затруднением: сама формула корректна, но не любой многочлен представляется в стандартном виде. Использование такого определения приводит к сложностям при доказательстве формулы ${\displaystyle (f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b}$.

---