Формальный степенной ряд

---

в котором коэффициенты ${\displaystyle a_{n}}$ принадлежат некоторому кольцу ${\displaystyle R}$.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (${\displaystyle +}$), умножения (${\displaystyle \cdot }$), формального дифференцирования (${\displaystyle '}$) и композиции (${\displaystyle \circ }$) следующим образом. Пусть

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом ${\displaystyle R}$ сами образуют кольцо, обозначаемое ${\displaystyle R[[X]]}$.

В кольце ${\displaystyle R[[X]]}$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

---