Формула Брахмагупты

---

Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон ${\displaystyle a,b,c,d}$ и полупериметр ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, то его площадь ${\displaystyle S}$ выражается формулой:

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей ${\displaystyle \triangle ABD}$ и ${\displaystyle \triangle BDC}$

Так как ${\displaystyle ABCD}$ является вписанным четырехугольником, то ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Следовательно, ${\displaystyle \sin A=\sin C}$:

Записав теорему косинусов для стороны ${\displaystyle CB}$ в ${\displaystyle \triangle ACB}$ и ${\displaystyle \triangle BDC,}$ получаем:

Используем ${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ (${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ противолежащие), а затем выносим за скобки ${\displaystyle 2\cos A}$:

---