Фундированное множество

---

Фундированное множество — частично упорядоченное множество ${\displaystyle \langle M,R\rangle }$, у которого любое непустое подмножество ${\displaystyle S\subseteq M}$ имеет минимальный элемент. Под минимальным элементом в ${\displaystyle S}$ здесь понимается ${\displaystyle m\in S}$, такой, что для любого ${\displaystyle x\in S}$ из ${\displaystyle x\,R\,m}$ следует ${\displaystyle x=m}$^[1]. В математике фундированное множество также известно как полная полурешётка.

(Некоторые авторы^{[какие?]} дополнительно требуют, чтобы отношение R было связным.)

Эквивалентное определение при условии использования аксиомы выбора состоит в том, что множество M с отношением R является фундированным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, то есть не существует бесконечной последовательности x₀, x₁, x₂, … элементов из M такой, что x_n+1 R x_n для любого индекса n.

Пусть ${\displaystyle \langle M,R\rangle }$ — фундированное множество и ${\displaystyle S\subseteq M}$. Тогда если для любого ${\displaystyle m\in M}$ из включения ${\displaystyle \{s\in M:s\,R\,m,s\not =m\}\subseteq S}$ следует ${\displaystyle m\in S}$, то ${\displaystyle M}$ совпадает с ${\displaystyle S}$^[2].

---