Целый элемент

---

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей ${\displaystyle B}$ относительно подкольца ${\displaystyle A\subset B}$, являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в ${\displaystyle A}$, то есть такой ${\displaystyle b}$, для которого существуют коэффициенты ${\displaystyle a_{j}\in A}$, такие что:

Целость является транзитивным отношением: если кольцо ${\displaystyle C}$ цело над ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle B}$ цело над ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle C}$ цело над ${\displaystyle A}$.

Есть ряд утверждений, эквивалентных тому, что элемент ${\displaystyle b}$ кольца ${\displaystyle B}$ цел над ${\displaystyle A}$:

Из третьего свойства легко вывести, что множество всех элементов, целых над ${\displaystyle A}$, является подкольцом ${\displaystyle B}$ (замкнуто относительно сложения и умножения), оно называется целым замыканием ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Если целое замыкание совпадает с самим кольцом ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A}$ называется целозамкнутым в ${\displaystyle B}$. Также из него следует, что если ${\displaystyle B}$ цело над ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ является объединением (или, эквивалентно, прямым пределом) подколец, являющихся конечнопорождёнными ${\displaystyle A}$-модулями.

---