Частица в периодическом потенциале

---

В квантовой механике задача о частице в одномерном периодическом потенциале — идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал задан на всем бесконечном пространстве и периодичен, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми ${\displaystyle a}$. Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

с периодическим потенциалом ${\displaystyle V_{a}(x)=V_{a}(x+a).}$ Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

где ${\displaystyle \mathrm {T} }$ — некоторая матрица (матрица монодромии). Рассматривая вронскиан, несложно показать, что ${\displaystyle \mathrm {T} }$ унитарна и ${\displaystyle \det \mathrm {T} =1}$. Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид

где ${\displaystyle \phi _{1,2}(x)}$ — периодические функции. Заметим, что пока что ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$. Очевидно, что спектру соответствуют ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$, что равносильно (с учётом унитарности) условию на след матрицы монодромии

---